FUVEST 2022 · questão 39

Questão 39 FUVEST 2022: Geometria plana

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Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura).

Figura da questão

O comprimento da fita, em metros, é:

  1. A
    \(20\pi + 30(3 + \sqrt{2})\)
  2. B
    \(20\pi + 30(4 + \sqrt{2})\)
  3. C
    \(25\pi + 15(4 + \sqrt{2})\)
  4. D
    \(25\pi + 30(4 + \sqrt{2})\)
  5. E
    \(25\pi + 30(4 + 2\sqrt{2})\)
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Gabarito: Alternativa B: \(20\pi + 30(4 + \sqrt{2})\).

Resolução comentada

Ideia-chave: uma fita esticada em volta de círculos iguais tem como comprimento o perímetro do polígono formado pelos centros (o fecho convexo) mais uma circunferência completa.

  1. Com origem no centro inferior esquerdo, os centros são \((0,0)\), \((30,0)\), \((30,30)\) e \((0,60)\).
  2. Os trechos retos da fita são paralelos aos lados do quadrilátero formado pelos centros e têm o mesmo comprimento:
    • lado esquerdo: \(60\);
    • base: \(30\);
    • lado direito: \(30\);
    • diagonal de \((30,30)\) a \((0,60)\): \(30\sqrt2\). \[ \text{retos} = 60 + 30 + 30 + 30\sqrt2 = 30(4 + \sqrt2). \]
  3. Nos arcos, a fita "vira" no total \(360^\circ\) em volta dos tanques. A soma dos arcos é uma circunferência de raio 10: \[ 2\pi\cdot10 = 20\pi. \]
  4. Comprimento total: \[ 20\pi + 30(4 + \sqrt2). \]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: a A esquece um dos lados de 30 m; a D e a E erram a soma dos arcos (\(25\pi\)), que é sempre exatamente uma volta completa.

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