FUVEST 2023 · questão 82

Questão 82 FUVEST 2023: Função exponencial e logaritmo

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Note e adote:

\(\log_{10} 2 = 0{,}3\)

A FIFA (Federação Internacional de Futebol) implementou, em 2018, a versão mais recente do ranking das seleções. Suponha que as seleções A e B, com pontuações \(P_A\) e \(P_B\), respectivamente, disputarão uma final de Copa do Mundo.

A pontuação atualizada da seleção A após a partida será dada por \(P'_A = P_A + 60(V_A - E_A)\), onde \(E_A = \dfrac{10^{(P_A - P_B)/600}}{1 + 10^{(P_A - P_B)/600}}\) e o valor de \(V_A\) depende do resultado da partida de acordo com a tabela:

Figura da questão

Sabendo que \(P_A - P_B = 360\), se a seleção A vencer a partida, sua pontuação aumentará em

  1. A
    6 pontos.
  2. B
    10 pontos.
  3. C
    12 pontos.
  4. D
    15 pontos.
  5. E
    20 pontos.
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Gabarito: Alternativa C: 12 pontos..

Resolução comentada

Ideia-chave: calcular \(E_A\) com a potência de 10 usando \(\log_{10} 2 = 0{,}3\).

  1. O expoente vale: \[\frac{P_A - P_B}{600} = \frac{360}{600} = 0{,}6\]
  2. Como \(10^{0{,}3} = 2\), temos: \[10^{0{,}6} = (10^{0{,}3})^2 = 2^2 = 4\]
  3. Então: \[E_A = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5} = 0{,}8\]
  4. Pela tabela, na vitória de A temos \(V_A = 1\).
  5. O aumento da pontuação é: \[P'_A - P_A = 60\,(V_A - E_A) = 60\,(1 - 0{,}8) = 60 \cdot 0{,}2 = 12\] O aumento é de 12 pontos.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: quem usa \(V_A = 0{,}5\) (empate) encontra \(60 \cdot (-0{,}3)\), que é negativo. Quem esquece o "1 +" no denominador obtém \(E_A = 4\), um valor sem sentido.

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