Questão 42 ITA 2022 · Vestibular 2022 · 1ª fase: Geometria plana

Convenções: \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\); \(i\) denota a unidade imaginária, \(i^2=-1\); \(M_n(\mathbb{R})\) denota o conjunto das matrizes \(n\times n\) de entradas reais; \(\overline{AB}\) denota o segmento de extremidades \(A\) e \(B\); \(m(AB)\) denota o comprimento do segmento \(AB\); \(A\hat{O}B\) denota o ângulo formado pelas semirretas \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\).

Considere um triângulo de vértices \(A\), \(B\) e \(C\), retângulo em \(B\). Seja \(r\) a reta determinada por \(A\) e \(C\) e seja \(O\) um ponto equidistante de \(A\) e \(C\) no mesmo lado que \(B\) com respeito a \(r\). Sabendo que \(m(AO)=85\), \(m(AB)=10\) e \(m(BC)=24\),