Questão 38 ITA 2024 · Vestibular 2024 · 1ª fase: Matrizes, determinantes e sistemas

Convenções: \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\); \(\mathbb{R}\): reais; \(\mathbb{C}\): complexos; \(A-B\): diferença de conjuntos; \(i^2=-1\); \(M_n(\mathbb{R})\): matrizes \(n\times n\) de entradas reais; \(m(\overline{AB})\): comprimento do segmento \(\overline{AB}\); \(A\hat{B}C\): ângulo de vértice \(B\); \(\det A\): determinante; \(A^T\): transposta.

Sejam \(A, B, C, D\in M_n(\mathbb{R})\). Considere o sistema linear

\[\begin{cases}AX=B\\DX+Y=C\end{cases}\]

nas variáveis \(X, Y\in M_n(\mathbb{R})\). Considere as afirmações:

I. Se \(\det A=0\) ou \(\det D=0\), então o sistema é impossível.

II. Se \(A=B\), então o sistema possui uma única solução.

III. O sistema possui uma única solução apenas se \(A\) e \(D\) são inversíveis.