Questão 22 Unicamp 2018: Geometria plana

Resolução comentada

Ideia-chave: a área de um setor de ângulo fixo é proporcional ao quadrado do raio.

1. Pela figura, o setor interno (escuro) tem raio \(a\) e o setor completo tem raio \(a + b\), com o mesmo ângulo central \(\alpha\).
2. Área de setor: \(\tfrac{\alpha}{2} r^2\). Se as duas regiões têm a mesma área, o setor interno vale metade do setor total: \[\tfrac{\alpha}{2} a^2 = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\alpha}{2}(a+b)^2 \Rightarrow (a+b)^2 = 2a^2.\]
3. Como tudo é positivo: \(a + b = a\sqrt{2}\), ou seja, \(b = a(\sqrt{2} - 1)\).
4. Então \[\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \sqrt{2} + 1.\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \(\sqrt{2}\) é a razão \(\tfrac{a+b}{a}\) (raio externo sobre interno), não \(\tfrac{a}{b}\); esquecer de racionalizar também leva a confusão.