Unicamp 2018 · questão 23

Questão 23 Unicamp 2018: Geometria plana

Matemática › Geometria planaVestibulares

Considere que o quadrado \(ABCD\), representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de \(1\ \text{cm}\), e que \(C\) é o ponto médio do segmento \(AE\). Consequentemente, a distância entre os pontos \(D\) e \(E\) será igual a

Figura da questão

  1. A
    \(\sqrt{3}\ \text{cm}\).
  2. B
    \(2\ \text{cm}\).
  3. C
    \(\sqrt{5}\ \text{cm}\).
  4. D
    \(\sqrt{6}\ \text{cm}\)
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa C: \(\sqrt{5}\ \text{cm}\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: coloque o quadrado no plano cartesiano e use a fórmula da distância.

  1. Tome \(A = (0,0)\), \(B = (1,0)\), \(C = (1,1)\) e \(D = (0,1)\).
  2. Como \(C\) é ponto médio de \(AE\): \[C = \frac{A + E}{2} \Rightarrow E = 2C - A = (2,2).\]
  3. Distância de \(D\) a \(E\): \[DE = \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\ \text{cm}.\]
  4. Conferência geométrica: no triângulo \(DCE\), \(DC = 1\), \(CE = AC = \sqrt{2}\) e o ângulo \(D\hat{C}E = 135^\circ\); pela lei dos cossenos, \[DE^2 = 1 + 2 - 2\cdot 1\cdot\sqrt{2}\cos 135^\circ = 3 + 2 = 5.\]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: usar \(45^\circ\) no lugar de \(135^\circ\) na lei dos cossenos dá \(DE = 1\); somar errado as coordenadas leva a \(\sqrt{3}\) ou \(\sqrt{6}\).

Mais questões de Geometria plana

Ver todas as questões de Geometria plana