Questão 21 Unicamp 2018: Funções (afim e quadrática)

Resolução comentada

Ideia-chave: leia a lei de \(f\) em cada trecho do gráfico e eleve ao quadrado; observe concavidade e zeros.

1. Do gráfico: em \([0,1]\), \(f(x) = x\); em \([1,3]\), a reta passa por \((1,1)\) e \((2,0)\), logo \(f(x) = 2 - x\).
2. Elevando ao quadrado: \[[f(x)]^2 = x^2 \ \text{em } [0,1], \qquad [f(x)]^2 = (2-x)^2 \ \text{em } [1,3].\]
3. Em \([0,1]\): arco de parábola com concavidade para cima, saindo de \((0,0)\) com tangente horizontal e chegando a \((1,1)\).
4. Em \([1,3]\): parábola com concavidade para cima e vértice em \((2,0)\), passando por \((1,1)\) e \((3,1)\) — simétrica em torno de \(x = 2\).
5. Em \(x = 1\) forma-se um "bico" (as duas parábolas se encontram com inclinações diferentes).
6. O único gráfico com todos os trechos côncavos para cima, bico em \(x = 1\) e mínimo suave em \(x = 2\) é o da alternativa C.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: A e B têm arcos côncavos para baixo (como \(\sqrt{\ }\) ou seno), e D tem bico em \(x = 2\) com trecho côncavo para baixo em \([2,3]\), o que não ocorre com \((2-x)^2\).