Resolução comentada
Ideia-chave: use soma e produto das raízes junto com a identidade \((\operatorname{sen}\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta\).
- Pelas relações de Girard em \(2x^2 + x + k = 0\):
\[\operatorname{sen}\theta + \cos\theta = -\tfrac{1}{2}, \qquad \operatorname{sen}\theta\cos\theta = \tfrac{k}{2}.\]
- Elevando a soma ao quadrado:
\[(\operatorname{sen}\theta + \cos\theta)^2 = \operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta + 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta = 1 + k.\]
- Logo
\[\tfrac{1}{4} = 1 + k \Rightarrow k = -\tfrac{3}{4}.\]
- Conferência: com \(k = -\tfrac{3}{4}\), o discriminante é \(1 - 8k = 7 > 0\), então há duas raízes reais, compatíveis com seno e cosseno.
- \(-\tfrac{3}{4}\) é racional e não inteiro.
Resposta: alternativa B.
Por que não as outras: quem esquece o "\(\cdot 2\)" do produto (usando \(\operatorname{sen}\theta\cos\theta = k\)) acha \(k = -\tfrac{3}{8}\), ainda racional; quem erra o sinal da soma pode chegar a valores inteiros incorretos.