Resolução comentada
Ideia-chave: \(\theta\) é a diferença entre os ângulos \(A\hat{B}C\) e \(A\hat{B}M\); use a tangente da diferença.
- Seja \(AB = AM = MC = 1\). Então \(AC = AM + MC = 2\), com ângulo reto em \(A\).
- No triângulo \(ABM\):
\[\tan(A\hat{B}M) = \frac{AM}{AB} = 1.\]
- No triângulo \(ABC\):
\[\tan(A\hat{B}C) = \frac{AC}{AB} = 2.\]
- Como \(\theta = A\hat{B}C - A\hat{B}M\):
\[\tan\theta = \frac{2 - 1}{1 + 2\cdot 1} = \frac{1}{3}.\]
Resposta: alternativa B.
Por que não as outras: subtrair as tangentes diretamente (\(2 - 1 = 1\)) não é válido; dividir \(MC\) por \(AB\) e achar \(\tfrac{1}{2}\) ou \(1\) ignora que \(\theta\) não está em um triângulo retângulo.
