Unicamp 2020 · questão 42

Questão 42 Unicamp 2020: Polinômios e números complexos

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Seja a função polinomial do terceiro grau \(f(x) = x^3 - x^2 - 2x + 1\), definida para todo número real \(x\). A figura abaixo exibe o gráfico de \(y = f(x)\), no plano cartesiano, em que os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) têm a mesma ordenada. A distância entre os pontos \(A\) e \(C\) é igual a

Figura da questão

  1. A
    2.
  2. B
    \(2\sqrt{2}\).
  3. C
    3.
  4. D
    \(3\sqrt{2}\).
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Gabarito: Alternativa C: 3..

Resolução comentada

Ideia-chave: \(B\) está no eixo \(y\), então a ordenada comum é \(f(0)\); resolva \(f(x) = f(0)\).

  1. Pela figura, \(B\) tem abscissa 0, logo a ordenada comum é \[f(0) = 1.\]
  2. As abscissas de \(A\), \(B\) e \(C\) satisfazem \[x^3 - x^2 - 2x + 1 = 1 \Rightarrow x^3 - x^2 - 2x = 0.\]
  3. Fatorando: \[x(x^2 - x - 2) = 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 1) = 0.\]
  4. Soluções: \(x = -1\) (ponto \(A\), à esquerda), \(x = 0\) (ponto \(B\)) e \(x = 2\) (ponto \(C\), à direita).
  5. Como \(A\) e \(C\) estão na mesma horizontal, a distância é a diferença das abscissas: \[AC = 2 - (-1) = 3.\]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: confundir com as raízes de \(f\) (pontos onde \(y = 0\)) leva a valores irracionais; usar só \(BC = 2\) dá a alternativa A.

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