Unicamp 2020 · questão 43

Questão 43 Unicamp 2020: Geometria analítica

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Sabendo que \(c\) é um número real, considere, no plano cartesiano, a circunferência de equação \(x^2 + y^2 = 2cx\). Se o centro dessa circunferência pertence à reta de equação \(x+2y=3\), então seu raio é igual a

  1. A
    \(\sqrt{2}\).
  2. B
    \(\sqrt{3}\).
  3. C
    2.
  4. D
    3.
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Gabarito: Alternativa D: 3..

Resolução comentada

Ideia-chave: complete quadrados para achar centro e raio em função de \(c\).

  1. Reorganizando a equação: \[x^2 - 2cx + y^2 = 0 \Rightarrow (x - c)^2 + y^2 = c^2.\]
  2. Logo o centro é \((c, 0)\) e o raio é \(|c|\).
  3. O centro pertence à reta \(x + 2y = 3\): \[c + 2\cdot 0 = 3 \Rightarrow c = 3.\]
  4. Raio: \[r = |c| = 3.\]
  5. Conferência: \((x - 3)^2 + y^2 = 9\) expande para \(x^2 + y^2 = 6x = 2\cdot 3\,x\). ✔

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: tomar o raio como \(\sqrt{c}\) ou \(\sqrt{2c}\) (erro ao completar quadrados) leva a \(\sqrt{3}\) ou a valores fora das opções.

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