Resolução comentada
Ideia-chave: \(f = p - q\) tem grau no máximo 2 e raízes em \(\pm 1\); o sinal de \(f(0)\) define a concavidade.
- Como \(p\) e \(q\) têm grau 2, \(f(x) = p(x) - q(x)\) tem grau no máximo 2.
- As condições dadas significam
\[f(1) = 0 \quad\text{e}\quad f(-1) = 0.\]
- Se \(f\) tivesse grau \(\le 1\), com duas raízes seria identicamente nula, contrariando \(f(0) = p(0) - q(0) < 0\). Logo \(f\) tem grau 2:
\[f(x) = k(x - 1)(x + 1) = k(x^2 - 1).\]
- Como \(f(0) = -k < 0\), temos \(k > 0\): parábola com concavidade para cima, raízes \(-1\) e \(1\) e vértice negativo em \((0, -k)\).
- Essa descrição corresponde ao gráfico da alternativa A.
Resposta: alternativa A.
Por que não as outras: B é formada por segmentos de reta (não é polinômio de grau 2); C tem concavidade para baixo e \(f(0) > 0\); D seria um polinômio de grau 3, com três raízes.
