Questão 29 Unicamp 2021: Matrizes, determinantes e sistemas

Resolução comentada

Ideia-chave: escrever os quatro termos da PA em função do primeiro termo e da razão.

1. Termos consecutivos de uma PA de razão \(r\): \[b = a + r,\quad c = a + 2r,\quad d = a + 3r.\]
2. O determinante da matriz \(2\times 2\) é \(D = ad - bc\): \[D = a(a+3r) - (a+r)(a+2r).\]
3. Desenvolvendo: \[D = a^2 + 3ar - (a^2 + 3ar + 2r^2) = -2r^2.\]
4. Como \(r \neq 0\), podemos dividir: \[\frac{D}{r^2} = \frac{-2r^2}{r^2} = -2.\]
5. Teste rápido: PA \(1, 2, 3, 4\) (\(r=1\)) dá \(D = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = -2\). Confere.

Por que não as outras: errar o produto \((a+r)(a+2r)\), por exemplo escrevendo \(a^2 + 3ar + r^2\), leva a \(-1\); confundir a ordem da diagonal secundária troca o sinal.

Resposta: alternativa B.