Resolução comentada
Ideia-chave: em uma PG, o quadrado do termo do meio é o produto dos vizinhos; depois, usar a soma da PG infinita.
- Para \(1,\ 2x,\ -3x+1\) em PG:
\[(2x)^2 = 1\cdot(-3x+1) \Rightarrow 4x^2 + 3x - 1 = 0.\]
- Resolvendo: \(\Delta = 9 + 16 = 25\), então
\[x = \frac{-3 \pm 5}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\ \text{ou}\ x = -1.\]
- Todos os termos são positivos, logo \(2x > 0\) e descartamos \(x=-1\). Com \(x = \frac14\): a PG é \(1,\ \frac12,\ \frac14, \ldots\), de razão \(q = \frac12\).
- Como \(|q| < 1\), a soma infinita converge:
\[S = \frac{a_1}{1-q} = \frac{1}{1-\frac12} = 2.\]
Por que não as outras: com \(x=-1\) a sequência seria \(1, -2, 4\) (razão \(-2\)), que tem termos negativos e nem converge; errar a fórmula da soma, usando \(\frac{a_1}{1+q}\), dá \(\frac23\), que nem está nas opções.
Resposta: alternativa B.