Questão 38 Unicamp 2021: Funções (afim e quadrática)

Resolução comentada

Ideia-chave: usar a PG para descobrir a concavidade, o sinal do discriminante e o ponto de corte com o eixo \(y\).

1. Sendo \(q\) a razão (\(q \neq 0\)): \(b = aq\) e \(c = aq^2\). Assim \[p(x) = a + aq\,x + aq^2x^2.\]
2. Coeficiente líder: \(c = aq^2 > 0\) (pois \(a>0\) e \(q^2>0\)). A parábola tem concavidade para cima.
3. Discriminante: \[\Delta = b^2 - 4ac = a^2q^2 - 4\cdot a\cdot aq^2 = -3a^2q^2 < 0.\] Logo \(p(x)\) não tem raízes reais: o gráfico não toca o eixo \(x\).
4. Corte no eixo \(y\): \(p(0) = a > 0\).
5. O único gráfico com concavidade para cima, inteiramente acima do eixo \(x\) e cortando o eixo \(y\) em valor positivo é o da alternativa A (vértice próximo de \(x=0\), já que \(x_v = -\frac{1}{2q}\)).

Por que não as outras: os demais gráficos cortam o eixo \(x\) (teriam \(\Delta > 0\)) ou têm concavidade para baixo.

Resposta: alternativa A.