Unicamp 2021 · questão 46

Questão 46 Unicamp 2021: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo \(a\) a medida do menor lado e \(A\) a área desse triângulo, é correto afirmar que

  1. A
    \(A = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 2}}{4}\)
  2. B
    \(A = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} - 2}}{4}\)
  3. C
    \(A = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 2}}{2}\)
  4. D
    \(A = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} - 2}}{2}\)
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Gabarito: Alternativa A: \(A = a^2 \cdot \dfrac{\sqrt{2\sqrt{5} + 2}}{4}\).

Resolução comentada

Ideia-chave: lados em PG \(a,\ aq,\ aq^2\) com \(q>1\); a hipotenusa é o maior, e Pitágoras dá \(q\).

  1. Pitágoras: \[a^2 + (aq)^2 = (aq^2)^2 \Rightarrow q^4 - q^2 - 1 = 0.\]
  2. Fazendo \(u = q^2 > 0\): \(u^2 - u - 1 = 0 \Rightarrow u = \frac{1+\sqrt5}{2}\) (a raiz negativa é descartada).
  3. A área usa os catetos \(a\) e \(aq\): \[A = \frac{a\cdot aq}{2} = \frac{a^2 q}{2}.\]
  4. Calculando \(q\): \[q = \sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}} = \sqrt{\frac{2+2\sqrt5}{4}} = \frac{\sqrt{2\sqrt5 + 2}}{2}.\]
  5. Logo \[A = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{\sqrt{2\sqrt5+2}}{2} = a^2\cdot\frac{\sqrt{2\sqrt5+2}}{4}.\]

Por que não as outras: a C esquece o fator \(\frac12\) da área do triângulo; as alternativas com \(2\sqrt5 - 2\) aparecem quando se usa a raiz errada da equação em \(u\) (ou se toma \(q<1\)).

Resposta: alternativa A.

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