Resolução comentada
Ideia-chave: dividir \(p(x)\) por \(q(x)\) e impor resto zero.
- Como \(p\) tem grau 3 e \(q\) grau 2, o quociente é do tipo \(x + m\):
\[(x^2 + x + 2)(x + m) = x^3 + (m+1)x^2 + (m+2)x + 2m.\]
- Comparando com \(p(x) = x^3 - x^2 + 0\cdot x + a\):
- termo em \(x^2\): \(m + 1 = -1 \Rightarrow m = -2\);
- termo em \(x\): \(m + 2 = 0\), confere com \(m=-2\);
- termo independente: \(a = 2m = -4\).
- Conferência pela divisão: \((x^2+x+2)(x-2) = x^3 - x^2 - 4\), então \(p(x) = (x^2+x+2)(x-2) + (a+4)\); o resto \(a + 4\) é zero se, e só se, \(a = -4\).
Por que não as outras: errar o sinal do termo independente (\(a = 4\)) ou esquecer a condição do coeficiente de \(x\) leva a escolhas como \(a = 2\) ou \(a = 3\).
Resposta: alternativa D.