ENEM 2010 · questão 179

Questão 179 ENEM 2010: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Figura da questão

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.

A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?

  1. A
    9
  2. B
    45
  3. C
    64
  4. D
    81
  5. E
    285
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Gabarito: Alternativa D: 81.

Resolução comentada

Ideia-chave: descobrir o padrão da soma de cada linha — ela é um quadrado perfeito.

  1. Somas das linhas da figura:
  • 1ª: \(1 = 1^2\)
  • 2ª: \(1+2+1 = 4 = 2^2\)
  • 3ª: \(1+2+3+2+1 = 9 = 3^2\)
  • 4ª: \(1+2+3+4+3+2+1 = 16 = 4^2\)
  1. A linha \(n\) sobe de 1 até \(n\) e desce até 1, e sua soma é \(n^2\).
  2. Para a 9ª linha: \[1+2+\dots+9+\dots+2+1 = 9^2 = 81.\]
  3. Conferência: \((1+\dots+9) + (1+\dots+8) = 45 + 36 = 81\).

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: a B (45) é só a soma de 1 a 9, contando apenas a "subida" da linha; a A (9) confunde a soma com o número central.

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