ENEM 2011 · questão 150

Questão 150 ENEM 2011: Geometria analítica

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Figura da questão

A reta de equação \(y = x + 4\) representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto \(P = (-5, 5)\), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto.

  1. A
    \((-5, 0)\).
  2. B
    \((-3, 1)\).
  3. C
    \((-2, 1)\).
  4. D
    \((0, 4)\).
  5. E
    \((2, 6)\).
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Gabarito: Alternativa B: \((-3, 1)\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: a estação precisa estar sobre a reta \(y = x + 4\) e a no máximo 5 km de \(P = (-5, 5)\).

  1. Verificar quais pontos estão na reta:
  • \((-5,0)\): \(-5+4 = -1 \neq 0\) (não está).
  • \((-3,1)\): \(-3+4 = 1\) (está).
  • \((-2,1)\): \(-2+4 = 2 \neq 1\) (não está).
  • \((0,4)\): \(0+4 = 4\) (está).
  • \((2,6)\): \(2+4 = 6\) (está).
  1. Distâncias até \(P\): \[d_{(-3,1)} = \sqrt{(-3+5)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47 \le 5.\] \[d_{(0,4)} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26} > 5, \quad d_{(2,6)} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} > 5.\]
  2. Só \((-3, 1)\) atende às duas condições.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: a A está exatamente a 5 km do hospital, mas não pertence à reta do metrô.

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