Questão 26 Unicamp 2018: Matrizes, determinantes e sistemas

Resolução comentada

Ideia-chave: analise o determinante dos coeficientes e trate à parte o caso em que ele se anula.

1. Matriz dos coeficientes e seu determinante: \[D = \begin{vmatrix} 1 & k \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - k.\]
2. Se \(k \ne 1\), então \(D \ne 0\) e o sistema é possível e determinado (solução única).
3. Se \(k = 1\), as equações viram \[x + y = 1 \quad\text{e}\quad x + y = 1,\] que são a mesma equação: o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções).
4. Em qualquer caso existe solução. Portanto o sistema tem solução para todo \(k\) real.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: C é a "pegadinha" de achar que \(D = 0\) sempre significa impossível — aqui o sistema fica indeterminado. D é falsa: para \(k > 1\) temos \(D \ne 0\) e solução única.