Resolução comentada
Ideia-chave: calcule \(A^2\), monte \(aA + bI\) e iguale elemento a elemento.
- Quadrado da matriz:
\[A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.\]
- Lado direito:
\[aA + bI = \begin{pmatrix} a + b & 2a \\ 0 & a + b \end{pmatrix}.\]
- Igualando os elementos:
\[2a = 4 \Rightarrow a = 2; \qquad a + b = 1 \Rightarrow b = -1.\]
- Produto: \(ab = 2\cdot(-1) = -2\).
- Conferência pelo teorema de Cayley–Hamilton: o polinômio característico de \(A\) é \(\lambda^2 - 2\lambda + 1\), logo \(A^2 = 2A - I\), confirmando \(a = 2\) e \(b = -1\).
Resposta: alternativa A.
Por que não as outras: errar o elemento \(a_{12}\) de \(A^2\) (achar 2 em vez de 4) leva a \(a = 1\), \(b = 0\) e respostas incoerentes; trocar o sinal de \(b\) dá \(+2\).