Questão 28 Unicamp 2018: Polinômios e números complexos

Resolução comentada

Ideia-chave: escreva o algoritmo da divisão \(p = q\cdot Q + R\) e fatore.

1. Com quociente e resto iguais a \(x^2 + 1\): \[p(x) = q(x)(x^2 + 1) + (x^2 + 1) = (x^2 + 1)\,[q(x) + 1].\]
2. Logo \(x^2 + 1\) é fator de \(p(x)\), e suas raízes \(i\) e \(-i\) são raízes de \(p(x)\). Assim, \(p(x)\) tem raízes complexas (não reais) — alternativa C.
3. Verificando as demais: o resto tem grau menor que o divisor, então \(\operatorname{gr}(q) > 2\), ou seja, \(\operatorname{gr}(q) \ge 3\) — B é falsa.
4. Daí \(\operatorname{gr}(p) = \operatorname{gr}(q) + 2 \ge 5\) — A é falsa.
5. Nada garante raízes reais para \(q\): por exemplo, \(q(x) = x^4 + 1\) não tem raízes reais — D não é necessariamente verdadeira.

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: o erro típico é esquecer que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor, o que derruba A e B.