Resolução comentada
Ideia-chave: a mediatriz passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele.
- Interseções da reta \(x + 2y = 4\) com os eixos:
- com \(y=0\): \(x = 4\), logo \(A = (4, 0)\);
- com \(x=0\): \(y = 2\), logo \(B = (0, 2)\).
- Ponto médio de \(\overline{AB}\):
\[M = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (2, 1).\]
- Coeficiente angular de \(AB\): \(m_{AB} = \frac{2-0}{0-4} = -\frac12\). A perpendicular tem \(m = 2\) (pois \(m\cdot m_{AB} = -1\)).
- Reta por \(M\) com inclinação 2:
\[y - 1 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 3 \Rightarrow 2x - y = 3.\]
- Conferência: \(M=(2,1)\) satisfaz \(2\cdot 2 - 1 = 3\). Confere.
Por que não as outras: as equações \(2x + y = \ldots\) têm inclinação \(-2\), que não é perpendicular a \(AB\); \(2x - y = 5\) é paralela à resposta, mas não passa pelo ponto médio.
Resposta: alternativa A.