Resolução comentada
Ideia-chave: um sistema linear \(2\times 2\) pode não ter solução só quando o determinante é zero; aí é preciso testar a compatibilidade.
- Determinante da matriz dos coeficientes:
\[\det = a\cdot a - (-1)(a-2) = a^2 + a - 2 = (a+2)(a-1).\]
Zera para \(a = 1\) ou \(a = -2\).
- \(a = 1\): o sistema fica \(x - y = 3\) e \(-x + y = -3\). A segunda é a primeira multiplicada por \(-1\): infinitas soluções (possível indeterminado).
- \(a = -2\): o sistema fica
\[-2x - y = 3,\qquad -4x - 2y = -6.\]
Dividindo a segunda por 2: \(-2x - y = -3\). Como \(-2x - y\) não pode valer 3 e \(-3\) ao mesmo tempo, o sistema é impossível.
- Para \(a = 0\) ou \(a=-1\), o determinante é \(-2\), diferente de zero: solução única.
Por que não as outras: a armadilha é marcar \(a=1\) só porque zera o determinante, sem verificar que o sistema continua possível.
Resposta: alternativa D.