Questão 64 Unicamp 2023: Sequências (PA e PG)

Resolução comentada

Ideia-chave: igualar as diferenças das duas PAs à mesma razão \(r\) e fatorar.

1. PA \(a, b, c\): \(b - a = r\) e \(c - b = r\), com \(r \ne 0\) (números distintos). Assim \(c - a = 2r\).
2. PA \(ab, bc, ca\) com a mesma razão: \[bc - ab = b(c - a) = 2br = r \Rightarrow b = \frac12.\] \[ca - bc = c(a - b) = c(-r) = r \Rightarrow c = -1.\]
3. Então \(r = c - b = -1 - \frac12 = -\frac32\) e \(a = b - r = \frac12 + \frac32 = 2\).
4. Produto: \[abc = 2\cdot\frac12\cdot(-1) = -1.\]
5. Conferência: \(2, \frac12, -1\) tem razão \(-\frac32\); \(ab = 1\), \(bc = -\frac12\), \(ca = -2\) também tem razão \(-\frac32\). Confere.

Por que não as outras: errar o sinal de \(a - b = -r\) dá \(c = 1\) e leva a produtos positivos como 1 ou \(\frac18\).

Resposta: alternativa C.