ENEM 2013 · questão 151

Questão 151 ENEM 2013: Geometria analítica

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Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas \((x, y)\) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

I — é a circunferência de equação \(x^2 + y^2 = 9\);
II — é a parábola de equação \(y = -x^2 - 1\), com \(x\) variando de \(-1\) a \(1\);
III — é o quadrado formado pelos vértices \((-2, 1)\), \((-1, 1)\), \((-1, 2)\) e \((-2, 2)\);
IV — é o quadrado formado pelos vértices \((1, 1)\), \((2, 1)\), \((2, 2)\) e \((1, 2)\);
V — é o ponto \((0, 0)\).

A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.

Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa E.

Resolução comentada

Ideia-chave: identificar cada conjunto pela equação e conferir posição, tamanho e concavidade nas figuras.

  1. I: \(x^2 + y^2 = 9\) é a circunferência de centro \((0,0)\) e raio \(3\). Isso elimina A e B, em que a circunferência vai até \(\pm 9\).
  2. III e IV: quadrados de lado \(1\) entre \(y = 1\) e \(y = 2\), um com \(x\) de \(-2\) a \(-1\) e outro de \(1\) a \(2\) — os "olhos", acima do eixo \(x\).
  3. V: o ponto \((0,0)\), no centro.
  4. II: \(y = -x^2 - 1\) tem coeficiente de \(x^2\) negativo, portanto concavidade para baixo, com vértice em \((0,-1)\) e extremos \((\pm 1, -2)\). Fica abaixo da origem, formando uma "boca triste".
  5. Entre C, D e E (raio 3), C e D trazem o arco com concavidade para cima; só E mostra o arco voltado para baixo, abaixo da origem.

Por que não as outras: C e D desenham a parábola como se fosse \(y = x^2 - 1\) ou deslocada para cima; A e B usam raio \(9\) em vez de \(\sqrt{9} = 3\).

Resposta: alternativa E.

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