ENEM 2016 · questão 142

Questão 142 ENEM 2016: Geometria analítica

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Figura da questão

A família pretende que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, e a escola das crianças, na rua 4 com a rua A. Com base nesses dados, o imóvel que atende as pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas

  1. A
    3 e C
  2. B
    4 e C
  3. C
    4 e D
  4. D
    4 e E
  5. E
    5 e C
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Gabarito: Alternativa C: 4 e D.

Resolução comentada

Ideia-chave: quem anda pelas ruas de uma malha quadriculada percorre a soma dos deslocamentos na horizontal e na vertical. É preciso igualar essas distâncias até os três locais.

  1. Numere as posições: ruas 1 a 6 nas colunas e ruas A a F nas linhas, com \(A = 1, \dots, F = 6\). Assim:
    • trabalho da mãe: \((6;\,5)\)
    • consultório do pai: \((2;\,5)\)
    • escola: \((4;\,1)\)
  2. Chame de \((x;\,y)\) a posição do imóvel. Igualando as distâncias até a mãe e até o pai: \[|x-6| + |y-5| = |x-2| + |y-5| \;\Rightarrow\; |x-6| = |x-2| \;\Rightarrow\; x = 4\] Então o imóvel fica na rua 4.
  3. Com \(x = 4\), a distância até a mãe é \(2 + |y - 5|\) e até a escola é \(|y - 1|\). Para \(1 \le y \le 5\): \[2 + 5 - y = y - 1 \;\Rightarrow\; y = 4\] Isso corresponde à rua D.
  4. Conferência: são 3 quarteirões até cada um dos três locais.

Por que não as outras: a alternativa B, 4 e C, fica a 4 quarteirões da mãe e a 2 da escola.

Resposta: alternativa C.

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