ENEM 2018 · questão 161

Questão 161 ENEM 2018: Geometria analítica

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Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de \(30\ \text{m}\) um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

  1. A
    30.
  2. B
    40.
  3. C
    45.
  4. D
    60.
  5. E
    68.
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Gabarito: Alternativa B: 40..

Resolução comentada

Ideia-chave: o conjunto dos pontos com \(PA = 2\,PB\) é uma circunferência (de Apolônio); a maior distância entre dois bombeiros é o diâmetro dela.

  1. Coloque \(B\) na origem e \(A = (-30, 0)\). Para \(P = (x, y)\): \[ (x+30)^2 + y^2 = 4(x^2 + y^2). \]
  2. Desenvolvendo: \(x^2 + 60x + 900 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 \Rightarrow 3x^2 + 3y^2 - 60x - 900 = 0\), ou seja, \[ x^2 + y^2 - 20x - 300 = 0 \Rightarrow (x-10)^2 + y^2 = 400. \]
  3. É uma circunferência de centro \((10, 0)\) e raio \(20\ \text{m}\).
  4. Conferência pelos pontos sobre a reta \(AB\): entre os focos, \(PB = 10\) e \(PA = 20\); além de \(B\), \(PB = 30\) e \(PA = 60\). A distância entre esses dois pontos é \(10 + 30 = 40\ \text{m}\), o diâmetro.
  5. Dois bombeiros sobre a circunferência ficam no máximo a um diâmetro de distância: \(40\ \text{m}\).

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: 30 m é a distância entre os focos; 60 m é a distância de \(A\) ao ponto externo, não entre dois bombeiros.

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