ENEM 2018 · questão 162

Questão 162 ENEM 2018: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Torneios de tênis, em geral, são disputados em sistema de eliminatória simples. Nesse sistema, são disputadas partidas entre dois competidores, com a eliminação do perdedor e promoção do vencedor para a fase seguinte. Dessa forma, se na 1ª fase o torneio conta com \(2n\) competidores, então na 2ª fase restarão \(n\) competidores, e assim sucessivamente até a partida final.

Em um torneio de tênis, disputado nesse sistema, participam 128 tenistas.

Para se definir o campeão desse torneio, o número de partidas necessárias é dado por

  1. A
    \(2 \times 128\)
  2. B
    \(64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2\)
  3. C
    \(128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1\)
  4. D
    \(128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2\)
  5. E
    \(64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1\)
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Gabarito: Alternativa E: \(64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1\).

Resolução comentada

Ideia-chave: em cada fase, o número de partidas é a metade do número de competidores daquela fase.

  1. 1ª fase: 128 tenistas \(\to 64\) partidas (restam 64).
  2. 2ª fase: 64 tenistas \(\to 32\) partidas; depois 16, 8, 4, 2 e, na final, 1 partida.
  3. Total de partidas: \[ 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127. \]
  4. Conferência por raciocínio direto: cada partida elimina exatamente um tenista. Para sobrar só o campeão, precisam ser eliminados \(128 - 1 = 127\) jogadores, logo são 127 partidas. Também é a soma da PG de razão \(\tfrac{1}{2}\): \(2^6 + 2^5 + \dots + 2^0 = 2^7 - 1 = 127\).

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: C e D somam o número de competidores de cada fase, não o de partidas; B esquece a partida final.

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