ENEM 2018 · questão 173

Questão 173 ENEM 2018: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

Os guindastes são fundamentais em canteiros de obras, no manejo de materiais pesados como vigas de aço. A figura ilustra uma sequência de estágios em que um guindaste iça uma viga de aço que se encontra inicialmente no solo.

Figura da questão

Na figura, o ponto \(O\) representa a projeção ortogonal do cabo de aço sobre o plano do chão e este se mantém na vertical durante todo o movimento de içamento da viga, que se inicia no tempo \(t = 0\) (estágio 1) e finaliza no Figura da questão (estágio 3). Uma das extremidades da viga é içada verticalmente a partir do ponto \(O\), enquanto que a outra extremidade desliza sobre o solo em direção ao ponto \(O\). Considere que o cabo de aço utilizado pelo guindaste para içar a viga fique sempre na posição vertical. Na figura, o ponto \(M\) representa o ponto médio do segmento que representa a viga.

Figura da questão

O gráfico que descreve a distância do ponto \(M\) ao ponto \(O\), em função do tempo, entre, é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa A.

Resolução comentada

Ideia-chave: em qualquer instante, viga, cabo vertical e chão formam um triângulo retângulo com ângulo reto em \(O\); o ponto médio da hipotenusa está à mesma distância dos três vértices.

  1. Uma extremidade da viga sobe pela vertical que passa por \(O\); a outra desliza no chão em direção a \(O\). Então as extremidades ficam sobre dois eixos perpendiculares que se cruzam em \(O\).
  2. A viga (comprimento fixo \(L\)) é a hipotenusa do triângulo retângulo de vértice reto em \(O\).
  3. Propriedade: a mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa. Logo \[ OM = \frac{L}{2} \quad \text{em todo o movimento.} \]
  4. Isso vale também nos estágios 1 e 3 (viga deitada ou em pé, com uma extremidade em \(O\)): \(OM = \tfrac{L}{2}\).
  5. Portanto a distância \(OM\) é constante entre \(t = 0\) e \(t_f\): o gráfico é um segmento horizontal.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: a intuição de que \(M\) “se aproxima” ou “se afasta” de \(O\) leva a C ou B; as curvas D e E supõem variação não constante, o que a propriedade da mediana descarta.

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