ENEM 2019 · questão 169

Questão 169 ENEM 2019: Geometria analítica

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Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

O usuário P define um raio de abrangência com medida de \(3\ \text{km}\) e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V.

Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a \(3\ \text{km}\), \(2\ \text{km}\) e \(5\ \text{km}\).

Figura da questão

Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários R, R e S, simultaneamente?

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Gabarito: Alternativa A: I..

Resolução comentada

Ideia-chave: há match quando a distância entre os usuários não supera o raio de nenhum dos dois; calcule as distâncias de cada bar a Q, R e S.

  1. Pelo gráfico: Q\((3, 7)\), R\((6, 7)\), S\((5, 3)\); bares I\((5,6)\), II\((4,5)\), III\((5,5)\), IV\((4,6)\), V\((3,4)\). P tem raio 3; a distância máxima permitida é o menor raio do par: Q \(\to 3\), R \(\to 2\), S \(\to 3\).
  2. Bar I: \[ d(I,Q) = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \le 3 \] \[ d(I,R) = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 \le 2 \] \[ d(I,S) = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \le 3 \] Atende aos três.
  3. Os demais falham com R: \(d(II,R) = \sqrt{8} \approx 2{,}83\), \(d(III,R) = \sqrt{5} \approx 2{,}24\), \(d(IV,R) = \sqrt{5} \approx 2{,}24\) e \(d(V,R) = 5\), todos maiores que 2.

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: III e IV ficam perto de R, mas a mais de 2 km, que é o raio de R.

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