ENEM 2020 · questão 155

Questão 155 ENEM 2020: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

Figura da questão

O quadrado \(PRST\), com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa B.

Resolução comentada

Ideia-chave: os lados formam uma progressão geométrica de razão \( \tfrac12 \) começando em 1.

  1. Pela construção, cada novo quadrado tem lado igual à metade do lado anterior (a figura confirma: 1, \(\tfrac12\), \(\tfrac14\), ...).
  2. Termo geral da PG com \( a_1 = 1 \) e \( q = \tfrac12 \): \[ a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} = \left(\frac12\right)^{n-1} \]
  3. Teste rápido: \( a_1 = (1/2)^0 = 1 \), \( a_2 = 1/2 \), \( a_3 = 1/4 \). Bate com o desenho.
  4. Para o centésimo quadrado: \[ a_{100} = \left(\frac12\right)^{99} \]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \((1/2)^{100}\) (A) é o erro clássico de usar o expoente \(n\) em vez de \(n-1\), esquecendo que o primeiro quadrado tem lado 1; expoentes negativos (D, E) dariam lados maiores que 1.

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