ENEM 2021 · questão 161

Questão 161 ENEM 2021: Funções (afim e quadrática)

Matemática › Funções (afim e quadrática)Vestibulares

O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual do ingresso.

O gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
  5. E
    Alternativa E
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Gabarito: Alternativa E.

Resolução comentada

Ideia-chave: arrecadação = preço × público, com desconto inteiro \(x\); resulta numa quadrática definida só para valores inteiros.

  1. Com desconto de \(x\) reais (\(x\) inteiro, \(0 \leq x \leq 20\)): \[A(x) = (20 - x)(200 + 40x) = -40x^2 + 600x + 4\,000.\]
  2. Parábola com concavidade para baixo, \(A(0) = 4\,000\) e \(A(20) = 0\).
  3. Vértice: \(x_v = \frac{-600}{2 \cdot (-40)} = 7{,}5\), com \(A(7) = A(8) = 13 \cdot 480 = 12 \cdot 520 = 6\,240\).
  4. Como só se admitem preços inteiros, o gráfico é formado por pontos isolados (não uma curva contínua), subindo de 4 000 até cerca de 6 240 em \(x = 7\) e 8 e descendo até 0 em \(x = 20\).

Resposta: alternativa E.

Por que não as outras: a alternativa D tem a forma certa, mas traça curva contínua, contrariando os valores inteiros; os gráficos lineares (A, B, C) ignoram que preço e público variam ao mesmo tempo.

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