ENEM 2022 · questão 158

Questão 158 ENEM 2022: Funções (afim e quadrática)

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Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada mês, ao longo de um ano. O modelo é dado por Figura da questão, sendo \(t\) um número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e \(p(t)\) a quantidade de pessoas infectadas no mês \(t\) do ano. Para tentar diminuir o número de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de intensificação das propagandas:

Figura da questão

A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita.

A proposta escolhida foi a

  1. A
    I.
  2. B
    II.
  3. C
    III.
  4. D
    IV.
  5. E
    V.
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Gabarito: Alternativa C: III..

Resolução comentada

Ideia-chave: o mês com mais infectados é o \(t\) do vértice da parábola \(p(t) = -t^2 + 10t + 24\), que tem concavidade para baixo.

  1. Os coeficientes são \(a = -1\) e \(b = 10\). Como \(a < 0\), a parábola tem um ponto de máximo.
  2. Abscissa do vértice: \[t_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5.\]
  3. Valor máximo: \(p(5) = -25 + 50 + 24 = 49\) infectados, no mês 5 (maio). Conferindo os vizinhos: \(p(4) = p(6) = 48\), ambos menores.
  4. A proposta escolhida precisa englobar \(t = 5\). A proposta III cobre \(5 \leq t \leq 6\).

Por que não as outras: a proposta II (\(3 \leq t \leq 4\)) cobre meses próximos do pico, mas não o pico; as raízes de \(p\) (\(t = -2\) e \(t = 12\)) não indicam o máximo, por isso a proposta V, que contém \(t = 12\), é justamente a de menos infectados.

Resposta: alternativa C.

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