FUVEST 2019 · questão 48

Questão 48 FUVEST 2019: Funções (afim e quadrática)

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Considere a função polinomial \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida por \(f(x) = ax^2 + bx + c\), em que \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\). No plano cartesiano xy, a única intersecção da reta \(y = 2\) com o gráfico de \(f\) é o ponto \((2;2)\) e a intersecção da reta \(x = 0\) com o gráfico de \(f\) é o ponto \((0;-6)\). O valor de \(a+b+c\) é

  1. A
    \(-2\)
  2. B
    0
  3. C
    2
  4. D
    4
  5. E
    6
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Gabarito: Alternativa B: 0.

Resolução comentada

Ideia-chave: se a reta horizontal \(y = 2\) toca a parábola em um único ponto, esse ponto é o vértice.

  1. Uma reta horizontal corta a parábola em dois pontos, um ou nenhum; um único ponto ocorre só no vértice. Logo o vértice é \((2;\ 2)\).
  2. Forma canônica: \[f(x) = a(x - 2)^2 + 2.\]
  3. Intersecção com \(x = 0\) em \((0; -6)\): \[f(0) = 4a + 2 = -6 \Rightarrow a = -2.\]
  4. Então \(f(x) = -2(x-2)^2 + 2\).
  5. Observe que \(a + b + c = f(1)\): \[f(1) = -2(1 - 2)^2 + 2 = -2 + 2 = 0.\]
  6. (Expandindo: \(f(x) = -2x^2 + 8x - 6\), e \(-2 + 8 - 6 = 0\).)

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: quem não reconhece o vértice tenta usar \((2;2)\) como ponto comum e fica com incógnitas a mais; erros de sinal em \(a\) levam a valores como 4 ou \(-2\).

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