FUVEST 2020 · questão 22

Questão 22 FUVEST 2020: Geometria analítica

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Um ponto \((x,y)\) do plano cartesiano pertence ao conjunto \(F\) se é equidistante dos eixos \(OX\) e \(OY\) e pertence ao círculo de equação \(x^2 + y^2 - 2x - 6y + 2 = 0\). É correto afirmar que \(F\)

  1. A
    é um conjunto vazio.
  2. B
    tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
  3. C
    tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.
  4. D
    tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
  5. E
    tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.
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Gabarito: Alternativa D: tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante..

Resolução comentada

Ideia-chave: "equidistante dos eixos" significa \(|x| = |y|\), ou seja, o ponto está na reta \(y = x\) ou na reta \(y = -x\). Basta intersectar cada reta com a circunferência.

  1. Completando quadrados: \[ (x-1)^2 + (y-3)^2 = 8. \]
  2. Reta \(y = x\): \[ 2x^2 - 8x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}. \] As duas raízes são positivas, então temos 2 pontos no 1º quadrante.
  3. Reta \(y = -x\): \[ 2x^2 + 4x + 2 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1,\ y = 1. \] A reta é tangente: 1 ponto, \((-1, 1)\), no 2º quadrante.
  4. No total, \(F\) tem 3 pontos: dois no 1º quadrante e um no 2º.

Resposta: alternativa D.

Por que não as outras: a C considera apenas a reta \(y = x\); a E supõe, sem fazer a conta, que a reta \(y = -x\) também corta a circunferência em dois pontos, mas ela é tangente.

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