Questão 46 ITA 2022 · Vestibular 2022 · 1ª fase: Matrizes, determinantes e sistemas

Convenções: \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\); \(i\) denota a unidade imaginária, \(i^2=-1\); \(M_n(\mathbb{R})\) denota o conjunto das matrizes \(n\times n\) de entradas reais; \(\overline{AB}\) denota o segmento de extremidades \(A\) e \(B\); \(m(AB)\) denota o comprimento do segmento \(AB\); \(A\hat{O}B\) denota o ângulo formado pelas semirretas \(\overrightarrow{OA}\) e \(\overrightarrow{OB}\).

Seja \(n\ge2\) e \(A,B\in M_n(\mathbb{R})\). Considere as seguintes afirmações:

I. Se \(AB\neq BA\) então ou \(A\) ou \(B\) não é inversível.

II. Se \(AB=0\) então \(BA=0\).

III. Se \(A^T=-A^2\) e \(A\) é inversível então \(\det(A)=-1\).