Unicamp 2020 · questão 39

Questão 39 Unicamp 2020: Matrizes, determinantes e sistemas

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Sabendo que \(p\) é um número real, considere a matriz \(A = \begin{pmatrix} p & 2 \\ 0 & p \end{pmatrix}\) e sua transposta \(A^T\). Se \(A+A^T\) é singular (não invertível), então

  1. A
    \(p = 0\).
  2. B
    \(|p| = 1\).
  3. C
    \(|p| = 2\).
  4. D
    \(p = 3\).
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Gabarito: Alternativa B: \(|p| = 1\)..

Resolução comentada

Ideia-chave: matriz singular é aquela de determinante zero.

  1. Transposta de \(A\): \[A^T = \begin{pmatrix} p & 0 \\ 2 & p \end{pmatrix}.\]
  2. Soma: \[A + A^T = \begin{pmatrix} 2p & 2 \\ 2 & 2p \end{pmatrix}.\]
  3. Determinante: \[\det(A + A^T) = 4p^2 - 4.\]
  4. Singular significa determinante nulo: \[4p^2 - 4 = 0 \Rightarrow p^2 = 1 \Rightarrow |p| = 1.\]

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: \(p = 0\) zera o determinante de \(A\), não de \(A + A^T\) (para \(p = 0\), \(\det(A + A^T) = -4 \ne 0\)); \(|p| = 2\) aparece quem esquece de somar os elementos diagonais (usando \(p\) em vez de \(2p\)).

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