Unicamp 2027 (Vestibular 2027 · 1ª fase) · questão 17

Questão 17 Unicamp 2027 · Vestibular 2027 · 1ª fase: Matrizes, determinantes e sistemas

Matemática › Matrizes, determinantes e sistemasVestibulares

Considere a matriz \(A(x)\) dada por

\[ A(x)=\begin{pmatrix} 2-x & 1 & -3 \\ -7 & -3-x & 9 \\ 0 & 3 & 1-x \end{pmatrix}, \]

em que \(x\) é um número real. Você que é fã do Vestibular Unicamp deve se lembrar dela: foi assunto da questão 7 da prova de matemática da segunda fase do Vestibular Unicamp de 1987.

A opção que melhor representa o gráfico de \(y=\det(A(x))\) é

  1. A
    Alternativa A
  2. B
    Alternativa B
  3. C
    Alternativa C
  4. D
    Alternativa D
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Gabarito: Alternativa B.

Resolução comentada

Ideia-chave: calcule o determinante e analise o polinômio de grau 3.

  1. Pela primeira linha: \[ \det A = (2-x)\big[(-3-x)(1-x)-27\big] - 1\big[-7(1-x)\big] + (-3)(-21) \]
  2. \((-3-x)(1-x)-27 = x^2+2x-30\), logo \((2-x)(x^2+2x-30) = -x^3+34x-60\).
  3. Somando: \(\det A = -x^3+34x-60+7-7x+63 = -x^3+27x+10\).
  4. Coeficiente líder negativo: vem de \(+\infty\) à esquerda e vai a \(-\infty\) à direita. Em \(x=0\), vale 10 > 0; mínimo local em \(x=-3\) (\(-44\)) e máximo local em \(x=3\) (64): três raízes reais.

Resposta: alternativa B.

Por que não as outras: A tem coeficiente líder positivo; C e D são de grau 4 (as duas pontas para o mesmo lado).

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