Unicamp 2027 (Vestibular 2027 · 1ª fase) · questão 21

Questão 21 Unicamp 2027 · Vestibular 2027 · 1ª fase: Matrizes, determinantes e sistemas

Matemática › Matrizes, determinantes e sistemasVestibulares

Considere a matriz

\[ M=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

em que as entradas \(a, b, c, d\) formam, nessa ordem, uma PA de razão negativa.

Sabendo que o determinante de \(M\) é \(-8\) e o traço de \(M\), ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal de \(M\), vale \(-4\), o valor de \(a\) é

  1. A
    1.
  2. B
    –1.
  3. C
    5.
  4. D
    –5.
Resolver esta questão no banco
Ver gabarito e resolução

Gabarito: Alternativa A: 1..

Resolução comentada

Ideia-chave: escreva as entradas como PA: \(a,\ a+r,\ a+2r,\ a+3r\).

  1. Traço: \(a + (a+3r) = -4 \Rightarrow 2a + 3r = -4\).
  2. Determinante: \(a(a+3r) - (a+r)(a+2r) = -2r^2 = -8 \Rightarrow r = -2\) (razão negativa).
  3. \(2a - 6 = -4 \Rightarrow a = 1\). Matriz: \(\begin{pmatrix}1 & -1\\ -3 & -5\end{pmatrix}\).

Resposta: alternativa A.

Por que não as outras: \(a=-5\) (D) sai de \(r = +2\), que tem razão positiva; \(-1\) e 5 não satisfazem o traço e o determinante juntos.

Mais questões de Matrizes, determinantes e sistemas

Ver todas as questões de Matrizes, determinantes e sistemas