Considere a região A= \(x,y) R^2;\ x≥ 0,\ 0≤ y≤ f(x) \ em que f(x)=(1)/(3^x), ilustrada na figura a seguir. [figura] Considere a região B formada pela união de infinitos retângulos de base 1 e altura f(n), com n Z,\ n≥ 0, como ilustrado na figura a seguir. [figura] A região A está contida na região B, portanto, a área da região B é uma estimativa por excesso para a área da região A. A área da região B é

Unicamp 2027 (Vestibular 2027 · 1ª fase) · questão 20

Questão 20 Unicamp 2027 · Vestibular 2027 · 1ª fase: Sequências (PA e PG)

Matemática › Sequências (PA e PG)Vestibulares

Considere a região

\[ A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\ x\ge 0,\ 0\le y\le f(x)\right\} \]

em que \(f(x)=\dfrac{1}{3^x}\), ilustrada na figura a seguir.

Figura da questão

Considere a região B formada pela união de infinitos retângulos de base 1 e altura \(f(n)\), com \(n\in\mathbb{Z},\ n\ge 0\), como ilustrado na figura a seguir.

Figura da questão

A região A está contida na região B, portanto, a área da região B é uma estimativa por excesso para a área da região A.

A área da região B é

A
9/10.
B
3/9.
C
3/2.
D
40/27.

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Gabarito: Alternativa C: 3/2..

Resolução comentada

Ideia-chave: a área de B é a soma de uma PG infinita.

Retângulos de base 1 e alturas \(f(0)=1,\ f(1)=\tfrac13,\ f(2)=\tfrac19,\dots\)
\[ S = \frac{1}{1-\frac13} = \frac32 \]

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: 40/27 é a soma só dos quatro primeiros retângulos; 9/10 e 3/9 não correspondem à série.

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