Unicamp 2027 (Vestibular 2027 · 1ª fase) · questão 18

Questão 18 Unicamp 2027 · Vestibular 2027 · 1ª fase: Polinômios e números complexos

Matemática › Polinômios e números complexosVestibulares

Seja \(p(x)=x^3+bx^2+cx+8\), com \(b\) e \(c\) números reais.

Sabendo que todas as soluções de \(p(x)=0\) são inteiras, o maior valor possível para \(b\) é

  1. A
    6.
  2. B
    7.
  3. C
    10.
  4. D
    13.
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Gabarito: Alternativa C: 10..

Resolução comentada

Ideia-chave: relações de Girard: \(r_1+r_2+r_3 = -b\) e \(r_1 r_2 r_3 = -8\).

  1. Para \(b\) máximo, a soma das raízes deve ser a menor possível.
  2. Raízes inteiras com produto \(-8\): a soma mínima é \((-1)+(-1)+(-8) = -10\).
  3. Então \(b = 10\) (com \(c = 17\): \(p(x) = (x+1)^2(x+8)\)).

Resposta: alternativa C.

Por que não as outras: 6 e 7 correspondem a somas \(-6\) (ex.: \(-2,-2,-2\)) e \(-7\) (\(-1,-2,-4\)), que não são as menores; 13 exigiria soma \(-13\), impossível com produto \(-8\).

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